Önermeler Mantığı

Mantık konusunda sayfalarca yazı yazmaya gerek görmüyorum. Zira internet ve diğer kaynaklarda bununla alakalı düzinelerce bilgi bulunabilir. Amma velakin ortaya atılan argümanlara ve iddialara cevap verebilmek ve onları daha sağlıklı analiz edebilmek adına bilinmesinin gerekli olacağı kanaatindeyim. O nedenle bir önbilgi olması için birkaç tanım yazmanın faydalı olacağını düşünüyorum.

Önermeler mantığının ne olduğuna geçmeden önce önermenin tanımını yapmak gerekiyor.

Önerme, bir veya birden fazla yargı belirten ifade, söz veya sayı grubudur. Önermeler doğru ya da yanlış bir içeriğe sahip olabilir. Örneğin “Türkiye’nin başkenti Erzurum’dur” cümlesi bir önermedir ve yanlıştır. 2×2=4 doğru bir önermedir. Buna karşılık “Nerelisin?” bir önerme değildir çünkü bir kesinlik ifade etmiyor. Aynı şekilde “Ne kadar güzel çiçekler!” gibi ünlem ve “Ahmet, Mehmet, Hasan, Hüseyin…” gibi hüküm belirtmeyen kelime grupları veya cümleler de önerme değildir. Birkaç örnek daha verelim:

  • 2 < 3 (Önermedir ve doğrudur)
  • Ay Mars’ın uydusudur (Önermedir ve yanlıştır)
  • 5 = 10 (Önermedir ve yanlıştır)
  • 100 metreyi kaç saniyede koşarsın? (Önerme değildir)

Buna ek olarak aynı önerme olmaları için ifadelerin aynı şekilde dile getirilmesi gerekmiyor. Aşağıdaki önermelerin hepsi aynı önermedir ve değerleri de aynıdır:

  • İki kere iki dört eder
  • 2×2=4
  • 2yi 2 ile çarpınca sonuç 4 çıkar

Mantıksal bağlar kullanılarak basit önermelerden başka önermeler de türetilebilir. Bunlara bileşik önermeler deniyor.

Önermenin tanımını yaptıktan sonra önermeler mantığına geçebiliriz. Önermeler mantığı ifadelerin içeriği ile değil doğruluğu ve geçerliliği ile ilgilenir. Önermeler matematiksel olarak sembolleştirilerek öznellik ve duygusallık tarafından bakılması engellenir.

Mantıksal Bağlar

Yukarıda da belirttiğim gibi basit önermeleri çeşitli mantıksal bağlarla bir araya getirerek başka önermeler elde edilebilir. Her önermeye karşılık matematiksel sembol olarak (p, q gibi) bir harf kullanılır ve bu bağlarla ilşkilendirilirler.

Değilleme Eklemi

Olumlu bir önermeyi olumsuz, olumsuz önermeyi ise olumlu hale getirir. ¬ veya ~ sembolüyle ifade edilir. Önermenin içeriğinin (D)oğru veya (Y)anlış olması durumunda biri diğerine dönüşür.

  • Mehmet öğrencidir (q)
  • Mehmet öğrenci değildir (~q)
  • Bir hafta 9 gündür (p)
  • Bir hafta 9 gün değildir (~p)

Aynı önerme iki kere değillenirse tekrar kendisine döner ~(~p) = p

Mesela “Bir hafta 9 gündür” önermesine p diyelim. Bu durumda p içerik olarak (olumlu bir ifade olmasına rağmen) yanlıştır. p’nin olumsuzu ise doğru olmaktadır.

p : Y (Bir hafta 9 gündür)
~p : D (Bir hafta 9 gün değildir)
~(~p) : Y

Ve Eklemi

İki önermenin “ve” ile bağlanmasıyla oluşan yeni önermeye tümel evetleme önermesi denir. Bu önermenin doğruluğu, önermeyi oluşturan alt önermelern hepsinin aynı anda doğru olmasını gerektirmektedir. ∧ sembolüyle gösterilir.

  • Bugün hava açık (p)
  • Bugün hava sıcak (q)
  • Bugün hava açık ve sıcak (p ∧ q)

Önermenin doğru olması için havanın hem açık hem de sıcak olması gerekir. Diğer durumlarda önerme yanlışlanır.

Veya Eklemi

İki önermenin “veya” ile bağlanıp elde edilen yeni önermeye tikel evetleme önermesi denir. Bu önermenin doğru olabilmesi için kendisini oluşturan alt önermelerden en az birinin doğru olması yeterlidir ve gereklidir. v sembolüyle gösterilir.

  • Ali okula gitti (p)
  • Ali maça gitti (q)
  • Ali okula veya maça gitti (p v q)

Ali’nin iki eylemden birini gerçekleştirmesi halinde bileşik önerme doğru olur.

İse Eklemi

İki önermenin “ise eklemi” ile bağlanmasıyla oluşan önermeye koşul önermesi denir. İse eklemi → veya -> sembolleriyle ifade edilir.

  • Yağmur yağıyor (p)
  • Hava bulutlu (q)
  • Eğer yağmur yağıyor ise hava bulutludur (p -> q)

Bazen “eğer-ise” bağı yerine doğal dilde “gerektirir” bağını da kullanabiliyoruz.

  • Yağmurun yağıyor olması havanın bulutlu olmasını gerektirir (p -> q)

Bu önermenin yanlışlığı ancak sebebin (ön bileşenin [p]) koşulu sağlaması, sonucun ise (sonraki bileşenin [q]) sağlamaması durumunda gerçekleşir. Bir başka deyişle p doğru, q yanlış olduğu durumda önermenin bütünü yanlış kabul edilir. Diğer bütün durumlarda koşul önermesi doğru sayılır.

Bunun üzerinde biraz durmak istiyorum çünkü safsata olarak adlandırabileceğimiz pekçok hatalı argüman bu kuralı yanlış kullanır veya kasten çarpıtır.  Önceki önermeyi ele alalım:

(1) “Yağmur yağıyor ise hava bulutludur”
Bu önerme kendisini oluşturan iki daha basit önermeye ayrıştırılabilir.
(2) “Yağmur yağıyor” => p
(3) “Hava bulutlu” => q
Böylece (1) önermesini sembolik bir ifadeye (p -> q) dönüştürebiliriz. Bileşik önermenin doğru olduğu koşulları anlamak için alt ifadelerin doğruluğuna bakmalıyız.

“Yağmur yağıyor ise hava bulutludur” (1. öncül)
“Yağmur yağıyor” (2. öncül)
Dolayısıyla : “Hava bulutludur” (sonuç)

Matematiksel gösterimle yapacak olursak:

p -> q   (1. öncül)
p   (2. öncül)
Sonuç: q

Buradaki {(p -> q), p} önermeler kümesi bizi q ya götürmüş oluyor. Buna modus ponens denir.

Peki argümanlar farklı bir şekilde verilmiş olsa?
“Yağmur yağıyor ise hava bulutludur” (1. öncül)
“Hava bulutlu değil” (2. öncül)
Dolayısıyla “yağmur yağmıyor” çıkarımını yapabiliriz. Bu duruma da modus tollens adı verilir.

p -> q
~q
Sonuç: ~p

Bu ifadenin tutarlılığı için sonuç sebebin gerçekleşmesini gerektirmektedir. Bir başka deyişle sonuç gerçekleşmemişse sebep de gerçekleşmemeli ki tutarlı bir ifade olsun. Fakat sebebin doğru olması halinde sonucun kesin olarak doğru olması gerekmektedir. Aksi halde önerme yanlış olur.

Örneğin elimizde
“Yağmur yağıyor” (1. öncül)
“Hava bulutlu değil” (2. öncül)
argümanları varsa “Yağmur yağıyor ise hava bulutludur” sonucuna varamayız. Dolayısıyla sunduğumuz önerme hatalı çıkmış olur.

İşler bu noktadan sonra ilginç bir hal alıyor. Çünkü sebebin gerçekleşmediği durum bize sonuç hakkında bir bilgi vermez. Yani “bugün yağmur yağmıyor” dediğim zaman bu havanın bulutlu olup olmadığı hakkında bir ipucu vermiyor. Sebebin hatalı olması, gerçekleşmiş veya gerçekleşmemiş sonucu etkilemiyor. O nedenle sebep hatalı olduğu durumda koşul önermesi doğru kabul edilir.

“Yağmur yağıyor ise hava bulutludur” (1. öncül)
“Yağmur yağmıyor” (2. öncül)
Dolayısıyla hava bulutlu “veya” bulutsuz olabilir.

p -> q
~p
Sonuç: q v ~q

Görüldüğü gibi sonuç her halükarda doğrudur. Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) her değeri doğru çıkıyorsa buna totoloji denir.

Benzer şekilde tam tersi bir çıkarım da söz konusudur:
“Yağmur yağıyor ise hava bulutludur” (1. öncül)
“Hava bulutlu” (2. öncül)
Bu durum bize yağmurun yağıp yağmadığı hakkında bir bilgi vermemektedir. Dolayısıyla yağmur yağıyor da olabilir yağmıyor da olabilir.

p -> q
q
Sonuç: p v ~p

Ancak ve Ancak Eklemi

İki önerme “Ancak ve ancak… ise” ile birleştirilmişse ortaya çıkan yeni önermeye karşılıklı koşul önermesi adı verilir. Bu önerme türünde bileşenlerinin hepsi aynı değeri almışsa doğru, diğer türde yanlış olarak kabul edilir. Yani karşılıklı koşul önermesinin doğru olabilmesi için ya ikisinin de doğru ya da ikisinin de yanlış olması gerekir. ↔ veya <-> sembolü ile gösterilir.

  • Üçgenin iç açıları birbirine eşittir (p)
  • Üçgen eşkenarlıdır (q)
  • Üçgen ancak ve ancak iç açıları birbirine eşit ise eşkenarlıdır (p <-> q)

Aşağıdaki tablo iki basit önermenin kombinasyonlarının meydana getireceği bileşik önermelerin doğruluğunu göstermektedir.

p q p ∧ q p v q p -> q p <-> q
D D D D D D
D Y Y D Y Y
Y D Y D D Y
Y Y Y Y D D

 

Kaynaklar:

  1. Sembolik Mantık – Vikipedi, özgür ansiklopedi
  2. Önermeler Mantığı – Vikipedi, özgür ansiklopedi
  3. Safsata – Vikipedi, özgür ansiklopedi
Reklamlar

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s